MOJAB 24

بگذارید Ω = {الف، ب، ج} - فضای کلی باشد که در آن دو سیستم مجموعه تعریف شده است τ1 = {∅، Ω، {الف}، {الف، ب}} و τ2 = {∅، Ω، {الف}، {ب، ج}}. a) آیا τ1، τ2 سیگما الگبرا هستند؟ توپولوژی ها؟ b) کوچکترین توپولوژی را که شامل τ1 و τ2 است پیدا کنید. c) کوچکترین سیگما الگبرا را که شامل τ1 و τ2 است پیدا کنید. d) ابعاد VC فضاهای (Ω، τ1)، (Ω، τ2) را پیدا کنید.

a) برای اینکه یک سیگما الگبرا باشد، باید شامل اجتماع هر تعداد متناهی از مجموعه هایش باشد. اما در اینجا، تعدادی از زیرمجموعه های تعریف شده در τ1 و τ2، اجتماعشان در تعریف توپولوژی نیستند، بنابراین τ1 و τ2 سیگما الگبرا نیستند. برای اینکه یک توپولوژی باشد، باید شامل اجتماع هر تعداد از زیرمجموعه هایش باشد و همچنین شامل تقاطع هر تعداد از زیرمجموعه هایش باشد. اما در اینجا، تعریف توپولوژی برای τ1 و τ2 این شرایط را نقض می کند، بنابراین τ1 و τ2 توپولوژی نیستند.

b) کوچکترین توپولوژی که شامل τ1 و τ2 است، توپولوژی تولید شده توسط اجتماع همه زیرمجموعه های τ1 و τ2 است، یعنی توپولوژی تولید شده توسط {∅، Ω، {الف}، {الف، ب}، {ب، ج}}.

c) کوچکترین سیگما الگبرا که شامل τ1 و τ2 است، سیگما الگبرای تولید شده توسط اجتماع همه زیرمجموعه های τ1 و τ2 است، یعنی سیگما الگبرای تولید شده توسط {∅، Ω، {الف}، {الف، ب}، {ب، ج}}.

d) ابعاد VC فضاهای (Ω، τ1) و (Ω، τ2) به ترتیب برابر با 4 و 4 است. زیرا تعداد اعضای مجموعه های تعریف شده در τ1 و τ2 برابر با 4 است و توپولوژی های تعریف شده برای هر یک از آنها، شامل تمامی ترکیب های خطی این اعضا می باشد.