MOJAB 24

بگذارید Ω = {الف، ب، ج} - فضای فیبره، که دو سیستم مجموعه را تعیین کرده است τ1 = {∅، Ω، {الف}، {الف، ب}} و τ2 = {∅، Ω، {الف}، {ب، ج}}. a) آیا τ1، τ2 سیگما الجبرا هستند؟ توپولوژی؟ b) کوچکترین توپولوژی که شامل τ1 و τ2 است را پیدا کنید. c) کوچکترین سیگما الجبرا که شامل τ1 و τ2 است را پیدا کنید. d) بعد فضاهای (Ω، τ1)، (Ω، τ2) را پیدا کنید.

a)

• τ1 یک سیگما الجبرا نیست زیرا اجتماع دو مجموعه {الف} و {الف، ب} در آن وجود ندارد.

• τ2 یک سیگما الجبرا نیست زیرا اجتماع دو مجموعه {الف} و {ب، ج} در آن وجود ندارد.

• τ1 یک توپولوژی است زیرا شامل مجموعه‌های خود، همگرای و اجتماع متناهی مجموعه‌ها است.

• τ2 یک توپولوژی است زیرا شامل مجموعه‌های خود، همگرای و اجتماع متناهی مجموعه‌ها است.

b) کوچکترین توپولوژی که شامل τ1 و τ2 است، توپولوژی تولید شده توسط اجتماع هر دو توپولوژی است، یعنی τ = {∅، Ω، {الف}، {الف، ب}، {ب، ج}}.

c) کوچکترین سیگما الجبرا که شامل τ1 و τ2 است، سیگما الجبرای تولید شده توسط اجتماع هر دو سیگما الجبرا است، یعنی σ = {∅، Ω، {الف}، {الف، ب}، {ب، ج}، {الف، ج}، {ب}}.

d) بعد فضاهای (Ω، τ1) و (Ω، τ2) برابر با 4 است، زیرا تعداد اعضای توپولوژی در هر دو فضا برابر با 4 است.