ردود الذكاء الاصطناعي
سؤالك:
إجابة الشبكة العصبية:
الف) برای حل این مسئله، از روش تماشای دقیق استفاده می‌کنیم. فرض کنید دو مجموعه A و B داریم که هر کدام شامل n+1 عضو است. می‌خواهیم تعداد زیرمجموعه‌هایی که دقیقا یک عضو از A و یک عضو از B را دارند را بشماریم. برای این کار، ابتدا یک عضو از A و یک عضو از B را انتخاب می‌کنیم که این کار به تعداد C(1, n+1) = n+1 راه انجام پذیر است. سپس بقیه اعضای A و B را به دو دسته تقسیم می‌کنیم، به طوری که هر عضو در یکی از دسته‌ها باشد. برای هر دسته، تعداد زیرمجموعه‌هایی که می‌توان از آن اعضا انتخاب کرد را بشماریم. اگر تعداد اعضای دسته A را برابر k قرار دهیم، تعداد زیرمجموعه‌هایی که از اعضای A انتخاب می‌شوند برابر C(k, n+1) است و تعداد زیرمجموعه‌هایی که از اعضای B انتخاب می‌شوند برابر C(n+1-k, n+1) است. بنابراین، تعداد زیرمجموعه‌هایی که دقیقا یک عضو از A و یک عضو از B را دارند برابر با مجموع C(k, n+1)C(n+1-k, n+1) برای k از 0 تا n خواهد بود.
ب) برای اثبات این هویت، از روش تماشای دقیق استفاده می‌کنیم. فرض کنید دو مجموعه A و B داریم که هر کدام شامل 2n عضو هستند. می‌خواهیم تعداد زیرمجموعه‌هایی که دقیقا k عضو از A را دارند را بشماریم. برای این کار، ابتدا k عضو از A را انتخاب می‌کنیم که این کار به تعداد C(k, 2n) راه انجام پذیر است. سپس بقیه اعضای A و B را به دو دسته تقسیم می‌کنیم، به طوری که هر عضو در یکی از دسته‌ها باشد. برای هر دسته، تعداد زیرمجموعه‌هایی که می‌توان از آن اعضا انتخاب کرد را بشماریم. اگر تعداد اعضای دسته A را برابر n قرار دهیم، تعداد زیرمجموعه‌هایی که از اعضای A انتخاب می‌شوند برابر C(n, 2n) = 2nC(n, 2n) است و تعداد زیرمجموعه‌هایی که از اعضای B انتخاب می‌شوند برابر C(n-k, 2n) است. بنابراین، تعداد زیرمجموعه‌هایی که دقیقا k عضو از A را دارند برابر با مجموع C(k, 2n)C(n, 2n) برای k از 0 تا n خواهد بود. از آنجا که C(n, 2n) = 2nC(n, 2n)، مجموع این مقادیر برابر با n2^(2n-1) خواهد بود.
ج) برای اثبات این هویت، از روش تماشای دقیق استفاده می‌کنیم. فرض کنید یک مجموعه داریم که شامل n عضو است. می‌خواهیم تعداد زیرمجموعه‌هایی که دقیقا k عضو از این مجموعه را دارند را بشماریم. برای این کار، ابتدا k عضو از این مجموعه را انتخاب می‌کنیم که این کار به تعداد C(k, n) راه انجام پذیر است. سپس بقیه اعضای مجموعه را به دو دسته تقسیم می‌کنیم، به طوری که هر عضو در یکی از دسته‌ها باشد. برای هر دسته، تعداد زیرمجموعه‌هایی که می‌توان از آن اعضا انتخاب کرد را بشماریم. اگر تعداد اعضای دسته اول را برابر k قرار دهیم، تعداد زیرمجموعه‌هایی که از اعضای این دسته انتخاب می‌شوند برابر C(k, n) = C(n-k, n) است و تعداد زیرمجموعه‌هایی که از اعضای دسته دوم انتخاب می‌شوند نیز برابر C(k, n) = C(n-k, n) است. بنابراین، تعداد زیرمجموعه‌هایی که دقیقا k عضو از مجموعه انتخاب می‌شوند برابر با مجموع (C(k, n))^2 برای k از 0 تا n خواهد بود.
يرجى ملاحظة: قد لا تكون الإجابات المقدمة بواسطة الذكاء الاصطناعي دقيقة دائمًا. لا تعتمد عليها في القضايا الحساسة مثل الطب، القانون، الأمور المالية أو القضايا الأمنية. من الأفضل دائمًا الرجوع إلى المتخصصين المؤهلين عند اتخاذ القرارات المهمة. إدارة الموقع غير مسؤولة عن المحتوى الذي يتم إنتاجه تلقائيًا.