MOJAB 24

برای اثبات اینکه مجموعه های ℝ، [0، )، (0، )، (- ، 0)، (- ، 0] دارای توانایی بی نهایت هستند، باید نشان دهیم که تعداد اعداد در این مجموعه ها نامحدود است. به عبارت دیگر، تعداد اعداد حقیقی در این مجموعه ها بیش از تعداد اعداد طبیعی است. برای این منظور، می توانیم از اصل تناوب کانتور استفاده کنیم. این اصل می گوید که هر مجموعه با تعداد اعضای بی نهایت، حداقل یک زیر مجموعه با تعداد اعضای بیشتر یا مساوی تعداد اعضای مجموعه های شمارا دارد. از طرف دیگر، مجموعه اعداد طبیعی شمارا است، یعنی می توانیم به ترتیب اعداد آنها را شمارش کنیم. پس، برای اثبات توانایی بی نهایت مجموعه های مذکور، کافی است نشان دهیم که تعداد اعداد حقیقی در هر مجموعه بیشتر یا مساوی تعداد اعداد طبیعی است. این نشان دادن می تواند از طریق تبدیل تعداد حقیقی به اعداد طبیعی با استفاده از تابعی مانند تابع همومورفیک برقرار شود. بنابراین، مجموعه های ℝ، [0، )، (0، )، (- ، 0)، (- ، 0] دارای توانایی بی نهایت و به عبارت دیگر، توانایی برابر با توانایی مجموعه اعداد طبیعی یا توانایی کانتور هستند.