MOJAB 24

یک بار معدن 200 گرمی با یک فنر با سختی 0.25 کیلو نیوتن بر متر در حال ارتعاش است، حجم ارتعاشات 10 سانتی متر است. میزان جابجایی بار نسبت به موقعیت تعادل در لحظه‌ای که سرعت آن 30 درصد کمتر از حداکثر سرعت است را پیدا کنید.

برای پیدا کردن جابجایی بار نسبت به موقعیت تعادل در لحظه‌ای که سرعت آن 30 درصد کمتر از حداکثر سرعت است، ابتدا باید حداکثر سرعت بار را محاسبه کنیم.

حداکثر سرعت بار در ارتعاشات هارمونیک می‌تواند محاسبه شود با استفاده از رابطه زیر: $v_{\text{max}} = A \omega$ که در اینجا $A$ حداکثر جابجایی بار (حجم ارتعاشات) و $\omega$ فرکانس ارتعاشات است.

برای محاسبه فرکانس ارتعاشات از رابطه زیر استفاده می‌کنیم: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ که در اینجا $k$ ضریب سختی فنر و $m$ جرم بار است.

با جایگذاری مقادیر داده شده داریم: $\omega = \sqrt{\frac{0.25 \, \text{N/m}}{0.2 \, \text{kg}}} = \sqrt{1.25} \approx 1.118 \, \text{rad/s}$

حال می‌توانیم حداکثر سرعت بار را محاسبه کنیم: $v_{\text{max}} = 0.1 \, \text{m} \times 1.118 \, \text{rad/s} = 0.1118 \, \text{m/s}$

سرعت در لحظه‌ای که 30 درصد کمتر از حداکثر سرعت است برابر است با: $v = 0.7 \times 0.1118 \, \text{m/s} = 0.07826 \, \text{m/s}$

حال برای محاسبه جابجایی بار نسبت به موقعیت تعادل در این لحظه از رابطه زیر استفاده می‌کنیم: $x = A \cos(\omega t)$

جایگذاری مقادیر داریم: $x = 0.1 \, \text{m} \times \cos(1.118 \, \text{rad/s} \times t)$

برای لحظه‌ای که سرعت بار 30 درصد کمتر از حداکثر سرعت است، مقدار $\cos(1.118 \, \text{rad/s} \times t)$ برابر با $\cos(0.7 \times 1.118 \, \text{rad/s} \times t)$ است.

پس جابجایی بار نسبت به موقعیت تعادل در این لحظه برابر است با: $x = 0.1 \, \text{m} \times \cos(0.7 \times 1.118 \, \text{rad/s} \times t)$