MOJAB 24

اینتگرال نامعین، که به پارامتر وابسته است. همگرایی در نقطه، همگرایی در مجموعه، همگرایی یکنواخت. معیار کوشی برای همگرایی یکنواخت.

اینتگرال نامعین که به پارامتر وابسته است، به صورت زیر تعریف می‌شود:

$F(x) = \int_{a}^{x} f(t, \alpha) dt$

که در آن $f(t, \alpha)$ تابعی است که به پارامتر $\alpha$ وابسته است.

همگرایی در نقطه به معنای این است که اینتگرال به یک مقدار مشخص در نقطه مورد نظر همگرا می‌شود. به عبارت دیگر، اگر اینتگرال به یک مقدار مشخص در نقطه $x_0$ همگرا باشد، آنگاه:

$\lim_{x \to x_0} F(x) = F(x_0)$

همگرایی در مجموعه به معنای این است که اینتگرال در محدوده‌ای از نقاط به یک مقدار مشخص همگرا می‌شود. به عبارت دیگر، اگر اینتگرال در بازه $[a, b]$ همگرا باشد، آنگاه:

$\lim_{b \to \infty} F(b) - F(a) = \int_{a}^{\infty} f(t, \alpha) dt$

همگرایی یکنواخت به معنای این است که اینتگرال به صورت یکنواخت برای تمام نقاط محدوده‌ای از نقاط همگرا می‌شود. به عبارت دیگر، اگر برای هر $\epsilon > 0$، یک $\delta > 0$ وجود داشته باشد به طوری که برای هر $x, y$ با فاصله کمتر از $\delta$، داشته باشیم:

$|F(x) - F(y)| < \epsilon$

معیار کوشی برای همگرایی یکنواخت به این صورت است که اگر برای هر $\epsilon > 0$، یک $\delta > 0$ وجود داشته باشد به طوری که برای هر زیربازه‌ای $[a, b]$ با طول کمتر از $\delta$، داشته باشیم:

$\left| \int_{a}^{b} f(t, \alpha) dt \right| < \epsilon$

با استفاده از این معیار، می‌توان همگرایی یکنواخت اینتگرال نامعین را بررسی کرد.