MOJAB 24

همه زاویه ها، محیط و مساحت مثلث با رؤسای A (0؛-2؛3)، B (-3، 4؛3)، C (5؛3؛-1) را پیدا کنید.

ابتدا برای پیدا کردن زاویه‌های مثلث از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$\cos \theta = \frac{{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}}$$

ابتدا بردارهای $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}$ را محاسبه می‌کنیم:

$$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -3-0 \\ 4-(-2) \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 5-0 \\ 3-(-2) \\ -1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix}$$

حال این بردارها را به کمک فرمول بالا جایگذاری کرده و زاویه‌های مثلث را محاسبه می‌کنیم:

$$\cos A = \frac{{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}} = \frac{{(-3) \times 5 + 6 \times 5 + 0 \times (-4)}}{{\sqrt{(-3)^2 + 6^2 + 0^2} \times \sqrt{5^2 + 5^2 + (-4)^2}}} = \frac{{15 + 30}}{15 \times \sqrt{50}} = \frac{{45}}{{15\sqrt{50}}} = \frac{{3}}{{\sqrt{50}}}$$ $$\cos B = \frac{{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}}{{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|}} = \frac{{-15 + 30 + 0}}{{\sqrt{(-3)^2 + 6^2 + 0^2} \times \sqrt{5^2 + 5^2 + (-4)^2}}} = \frac{{15}}{{15\sqrt{50}}} = \frac{{1}}{{\sqrt{50}}}$$ $$\cos C = \frac{{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}}{{|\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}|}} = \frac{{15 + 0 - 18}}{{\sqrt{5^2 + 5^2 + (-4)^2} \times \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + 0^2}}} = \frac{{-3}}{{15\sqrt{50}}} = \frac{{-1}}{{\sqrt{50}}}$$

حال با استفاده از تابع $\cos^{-1}$ می‌توانیم زاویه‌های مثلث را به صورت زیر پیدا کنیم:

$$\angle A = \cos^{-1} \left( \frac{3}{\sqrt{50}} \right) \approx 35.26^\circ$$ $$\angle B = \cos^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{50}} \right) \approx 71.57^\circ$$ $$\angle C = \cos^{-1} \left( \frac{-1}{\sqrt{50}} \right) \approx 73.17^\circ$$

حال برای محاسبه محیط مثلث از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$\text{محیط} = |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| + |\overrightarrow{CA}|$$ $$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{45}$$ $$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{5^2 + 5^2 + (-4)^2} = \sqrt{66}$$ $$|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{5^2 + 5^2 + (-4)^2} = \sqrt{66}$$ $$\text{محیط} = \sqrt{45} + \sqrt{66} + \sqrt{66} \approx 18.27$$

برای محاسبه مساحت مثلث از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

$$\text{مساحت} = \frac{1}{2} \times |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$$

ابتدا بردار $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ را محاسبه می‌کنیم:

$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 \\ 12 \\ 30 \end{pmatrix}$$

حال مساحت را محاسبه می‌کنیم:

$$\text{مساحت} = \frac{1}{2} \times |\begin{pmatrix} -24 \\ 12 \\ 30 \end{pmatrix}| = \frac{1}{2} \times \sqrt{(-24)^2 + 12^2 + 30^2} = \frac{1}{2} \times \sqrt{900 + 144 + 900} = \frac{1}{2} \times \sqrt{1944} = \frac{1}{2} \times 44 = 22$$

بنابراین، زاویه‌های مثلث به ترتیب 35.26، 71.57 و 73.17 درجه، محیط مثلث حدود 18.27 و مساحت مثلث 22 می‌باشد.