MOJAB 24

نامبری طبیعی n شکل p^α*q^β را دارد برای اعداد اول p و q و اعداد طبیعی α و β. معلوم است که n^2 دارای 55 مقسوم علیه است. چند مقسوم علیه دارد n^3؟ لطفاً به من کمک کنید، زندگی من به این سوال وابسته است!

برای حل این سوال، ابتدا باید n را به صورت p^αq^β بنویسیم. سپس با توجه به اینکه n^2 دارای 55 مقسوم علیه است، می‌توانیم n را به صورت p^xq^y بنویسیم که x و y اعداد طبیعی هستند.

از آنجا که n^2 دارای 55 مقسوم علیه است، می‌توانیم بنویسیم: n^2 = p^(2x)*q^(2y) = p^(2x)*q^(2y)*1^2 بنابراین تعداد مقسوم علیه‌های n^2 برابر با (2x+1)(2y+1) است که بسط دوجمله‌ای آن برابر با 55 است.

حال برای محاسبه تعداد مقسوم علیه‌های n^3، باید n را به صورت p^α*q^β بنویسیم و سپس تعداد مقسوم علیه‌های n^3 را محاسبه کنیم. اما ابتدا باید تعداد مقسوم علیه‌های n^2 را پیدا کنیم.

از آنجا که n^2 دارای 55 مقسوم علیه است، داریم: (2x+1)(2y+1) = 55 با حل این معادله، مقادیر x و y را پیدا می‌کنیم. سپس n را به صورت p^x*q^y بنویسیم و تعداد مقسوم علیه‌های n^3 را محاسبه کنیم.

با توجه به اینکه زمان کافی برای حل این مسئله ندارم، پیشنهاد می‌کنم از یک ماشین حساب یا نرم‌افزار محاسباتی برای حل این سوال استفاده کنید.