ردود الذكاء الاصطناعي
سؤالك:
إجابة الشبكة العصبية:
ابتدا ماتریس گرام-شمیدت را برای فضای برداری P2 با پایه {1, x, x^2} بر حسب f(x), g(x), h(x) محاسبه می‌کنیم:
G = [⟨1,1⟩ ⟨1,x⟩ ⟨1,x^2⟩] [⟨x,1⟩ ⟨x,x⟩ ⟨x,x^2⟩] [⟨x^2,1⟩ ⟨x^2,x⟩ ⟨x^2,x^2⟩]
ابتدا مقادیر ⟨p,q⟩ را محاسبه می‌کنیم: ⟨f,f⟩ = f(-1)f(-1) + f(0)f(0) + f(1)f(1) = (-1)(-1) + 00 + (-1)(-1) = 2 ⟨f,g⟩ = f(-1)g(-1) + f(0)g(0) + f(1)g(1) = (-1)(-1) + 08 + (-1)(-7+8) = 6 ⟨f,h⟩ = f(-1)h(-1) + f(0)h(0) + f(1)h(1) = (-1)(-5+8) + 08 + (-1)(-5-5+8) = 6 ⟨g,g⟩ = g(-1)g(-1) + g(0)g(0) + g(1)g(1) = (-7+8)(-7+8) + 88 + (-7+8)(-7+8) = 98 ⟨g,h⟩ = g(-1)h(-1) + g(0)h(0) + g(1)h(1) = (-7+8)(-5+8) + 88 + (-7+8)(-5-5+8) = 56 ⟨h,h⟩ = h(-1)h(-1) + h(0)h(0) + h(1)h(1) = (-5-5+8)(-5-5+8) + 88 + (-5-5+8)(-5-5+8) = 98
بنابراین ماتریس گرام-شمیدت به صورت زیر خواهد بود: G = [2 6 6] [6 98 56] [6 56 98]
حال برای پیدا کردن پایه ارتونرمال شده، از روش گرام-شمیدت استفاده می‌کنیم. ابتدا بردار اول پایه را به عنوان x1 انتخاب می‌کنیم. سپس بردار دوم را به شکل x2 = v2 - projv1(v2) انتخاب می‌کنیم. و در نهایت بردار سوم را به شکل x3 = v3 - projv1(v3) - projv2(v3) انتخاب می‌کنیم.
ابتدا برای پیدا کردن x1، باید بردار اول پایه را به صورت ارتونرمال شده انتخاب کنیم. برای این کار، بردار اول پایه را بر ویژه بردار متناظر با اولین مقدار ویژه ماتریس گرام-شمیدت ضرب کنیم و نرمال‌سازی کنیم:
v1 = [2, 6, 6] λ1 = 102.6 x1 = v1 / ||v1|| = [0.1, 0.3, 0.3]
حال برای پیدا کردن x2، از رابطه x2 = v2 - projv1(v2) استفاده می‌کنیم. برای این کار، باید بردار دوم پایه را از projv1(v2) کم کنیم و نرمال‌سازی کنیم:
v2 = [6, 98, 56] projv1(v2) = ⟨v2, x1⟩ / ⟨x1, x1⟩ * x1 = (60.1 + 980.3 + 560.3) / (0.10.1 + 0.30.3 + 0.30.3) * [0.1, 0.3, 0.3] = [1.2, 3.6, 3.6] x2 = v2 - projv1(v2) = [4.8, 94.4, 52.4] - [1.2, 3.6, 3.6] = [3.6, 90.8, 48.8] x2 = x2 / ||x2|| = [0.038, 0.955, 0.512]
در نهایت برای پیدا کردن x3، از رابطه x3 = v3 - projv1(v3) - projv2(v3) استفاده می‌کنیم. برای این کار، باید بردار سوم پایه را از projv1(v3) و projv2(v3) کم کنیم و نرمال‌سازی کنیم:
v3 = [6, 56, 98] projv1(v3) = ⟨v3, x1⟩ / ⟨x1, x1⟩ * x1 = (60.1 + 560.3 + 980.3) / (0.10.1 + 0.30.3 + 0.30.3) * [0.1, 0.3, 0.3] = [1.8, 5.4, 5.4] projv2(v3) = ⟨v3, x2⟩ / ⟨x2, x2⟩ * x2 = (60.038 + 560.955 + 980.512) / (0.0380.038 + 0.9550.955 + 0.5120.512) * [0.038, 0.955, 0.512] = [1.8, 45.1, 24.2] x3 = v3 - projv1(v3) - projv2(v3) = [6, 56, 98] - [1.8, 5.4, 5.4] - [1.8, 45.1, 24.2] = [2.4, 5.5, 68.4] x3 = x3 / ||x3|| = [0.034, 0.078, 0.996]
بنابراین پایه ارتونرمال شده از فضای برداری خطی P2 با چندجمله‌های f(x)، g(x)، h(x) برابر است با: {x1 = [0.1, 0.3, 0.3], x2 = [0.038, 0.955, 0.512], x3 = [0.034, 0.078, 0.996]}
يرجى ملاحظة: قد لا تكون الإجابات المقدمة بواسطة الذكاء الاصطناعي دقيقة دائمًا. لا تعتمد عليها في القضايا الحساسة مثل الطب، القانون، الأمور المالية أو القضايا الأمنية. من الأفضل دائمًا الرجوع إلى المتخصصين المؤهلين عند اتخاذ القرارات المهمة. إدارة الموقع غير مسؤولة عن المحتوى الذي يتم إنتاجه تلقائيًا.